Стратегия игры в кости «Свинья»: стоп на 20, стоп на 25 и оптимальная игра

Правила этой страницы — точно

У «Свиньи» много домашних вариантов — с двумя костями, другой целью, сгоранием всего банка на двух единицах. Числа на этой странице относятся к её собственным правилам, прочитанным из кода:

• Одна кость. Выпавшие 2–6 прибавляются к очкам хода; единица сжигает их и передаёт кость.
• «Стоп» переносит очки хода в банк и передаёт кость. До первого броска в ходе остановиться нельзя.
• Цель — 100. Как только банк плюс очки хода достигают 100, вы победили — нажимать «Стоп» не нужно.
• Кто начинает, решает жребий: каждая сторона бросает кость, при равенстве бросают снова, начинает тот, у кого больше. Это ровно 50 на 50.

Начинать выгодно. В партии двух оптимальных игроков первый выигрывает 53,06% — ровно столько же получили Неллер и Прессер в 2004 году. Если оба останавливаются на 20, первый выигрывает 53,47%. Так что, какой бы стратегии вы ни держались, когда жребий выпал вам, ждите примерно на шесть побед из ста больше, чем когда он выпал компьютеру.

Почему 20 и почему 25 выигрывает чаще

Довод за 20 — простая арифметика. Если на ходе k очков, ещё один бросок в среднем приносит 4 очка, когда выпадает не единица (5 раз из 6), и отнимает k, когда выпадает она (раз из 6). Бросать выгодно, пока 20/6 больше k/6, то есть пока k меньше 20. Поэтому «стоп на 20» даёт больше всего очков в банк за ход: в среднем 8,14.

Но в «Свинье» побеждает тот, кто первым дошёл до 100, а не тот, кто больше всех записал за ход, и разница заметна. При «стопе на 20» удачный ход приносит 20–25 очков, и таких ходов обычно нужно пять; при «стопе на 25» хватает четырёх. Вот точные шансы на победу с постоянным порогом против каждого уровня этой страницы:

Кривая не гладкая: 22 хуже и 20, и 25, а 33 лучше 30. Каждая такая ступенька — порог, на котором меняется число нужных удачных ходов. Из всех постоянных порогов от 12 до 40 лучший против уровней «стоп на 20» и «оптимальная стратегия» — 25, а против «держит темп» — 24.

Против уровня «стоп на 20» ваш собственный стоп на 20 — зеркальная партия, ровно 50%. Стоп на 25 обыгрывает этот уровень в 51,2% случаев.

Оптимальная стратегия — посчитанная

Тодд Неллер и Клифтон Прессер решили эту игру в 2004 году (статья «Optimal Play of the Dice Game Pig»). Мы повторили расчёт независимо: итерация ценности по всем состояниям — ваш банк, банк соперника, очки хода — с точностью 10⁻¹⁴. В таблице — результат: при какой сумме за ход оптимальный игрок перестаёт бросать и останавливается.

Из неё видны три закономерности, которые легко запомнить:

• Счёт равный, игра в начале — стоп около 20. При 0:0 оптимальный игрок на 20 ещё бросает, а на 21 останавливается; разница между этими решениями — 0,06 процентного пункта шанса на победу.
• Отстаёте — бросайте дольше, ведёте — останавливайтесь раньше. При 0 против 60 оптимальный игрок останавливается только на 32, при 60 против 0 — уже на 16.
• Когда соперник близко, останавливаться вообще не нужно — бросайте до 100. При вашем банке 0 это начинается, когда у соперника 84, при 40 — когда 78, при 60 — когда 64. Если у вас самих 80 или больше, оптимальный игрок не останавливается до самой победы.

Поверхность бугристая, как и сказано в статье под игрой: с 20 в банке оптимальный игрок останавливается на 30 против соперника с 60, но на 25 — против соперника с 70. Точно её не воспроизводит ни одна формула, поэтому правила из следующего раздела — приближения.

Таблица, которую страница строит для верхнего уровня, совпадает с нашей с точностью до 0,000002 в каждом состоянии и принимает то же решение в 494 999 из 495 000 состояний, где есть выбор. Единственное исключение — 41 против 0 с 17 очками на ходе — почти ничья: варианты различаются на 0,00002 процентного пункта.

Правила, которыми можно пользоваться

Самое ценное, что можно добавить к любому постоянному порогу, — условие гонки: как только у соперника 71 или больше, перестаньте останавливаться и бросайте до 100. После осторожного стопа кость к вам там чаще всего уже не вернётся вовремя. Эвристика самих Неллера и Прессера, «держи темп и заканчивай гонку», добавляет вторую идею: сдвигать порог на одно очко за каждые восемь очков разницы в счёте.

В этой таблице стоит заметить две вещи. Во-первых, «держи темп и заканчивай гонку» уступает идеальной игре всего полпункта: 49,5% против 50,0%. Во-вторых, оптимальная стратегия — не лучший способ обыгрывать слабого соперника. Она оптимальна против оптимального соперника; против «стопа на 20» она выигрывает 54,0%, а стратегия, рассчитанная именно против этого уровня, — 55,5%, и даже простое правило «держи темп» там обходит оптимальное.

«С округлением» — до ближайшего целого. Пример: у вас 30, у соперника 54. Он впереди на 24, 24 / 8 = 3 — останавливайтесь на 21 + 3 = 24. При ваших 54 против его 30 — на 21 − 3 = 18.

Что делает каждый уровень

Все три уровня играют по тем же правилам, что и вы, и бросают ту же кость; никто из них не жульничает.

• «Стоп на 20». Бросает, пока ход стоит меньше 20 очков, при любом счёте. Гонку не включает никогда: даже при ваших 95 он записывает свои 20.
• «Держит темп». Останавливается на 21 + (ваш банк − его банк) / 8 с округлением вниз — так что даже преимущество в одно очко опускает порог до 20, — но не ниже 15. Когда ваш банк доходит до 71, он бросает до 100.
• «Оптимальная стратегия». Полная таблица Неллера и Прессера, которую браузер считает при загрузке страницы (в нашей проверке расчёт занял 78 миллисекунд). Компьютер выбирает тот из двух вариантов, бросок или стоп, у которого шанс на победу выше.

Последняя строка — особенность, о которой стоит знать. В статье под игрой сказано, что этот уровень бежит к 100, «как только чей-то банк подбирается к финишу», но в коде гонку включает только ваш банк, а в правиле Неллера и Прессера — любой. Когда у компьютера 80, а вы далеко позади, он записывает мелкие ходы по 15 вместо того, чтобы добить партию. Эта прореха приносит вам почти целый пункт: оптимальная игра выигрывает у этого уровня 51,4%, а у правила из статьи Неллера и Прессера выигрывала бы 50,5%.

Сколько здесь решает удача

Много. Даже самое слабое из разумных правил в таблицах выше выигрывает у идеальной игры больше четырёх партий из десяти, а разница между хорошим правилом и простым — несколько процентных пунктов. На коротком матче она тонет в случайности. Вот шанс выиграть больше половины партий матча против уровня «оптимальная стратегия»:

Ровно половина побед здесь не считается выигрышем матча — поэтому даже столбец с 50% остаётся ниже половины. За пятьдесят партий четырёхпунктовое преимущество хорошей игры над «стопом на 20» всё ещё меньше разброса: одно стандартное отклонение вашего результата за пятьдесят партий — семь пунктов. Чтобы разница стала очевидной, нужно несколько сотен партий.

Точные шансы против каждого уровня немного зависят от того, кто начинает: со стопом на 20 против уровня «оптимальная стратегия» вы выигрываете 49,2% партий, которые начинаете сами, и 42,9% тех, что начинает он.