Стратегия нард (бэкгаммон): первые ходы, блоты, праймы и гонка

Пятнадцать первых бросков

Это международные нарды — бэкгаммон, у нас его чаще называют короткими нардами: шашки бьют, сбитая уходит на бар, марс (гаммон) и кокс (бэкгаммон) считаются отдельно. С длинными нардами, где бить нельзя, это другая игра. Первый бросок здесь никогда не бывает дублем — при равных костях бросают заново, — поэтому первый ход всегда один из пятнадцати. Теорию начала давно установили компьютерные роллауты — прогоны миллионов партий, и для большинства бросков она бесспорна. Пункты нумеруются как на доске: вы идёте от 24 к 1, 13-й пункт — средний пункт (мидпойнт), 7-й — бар-пойнт, 5-й — золотой пункт.

В том виде, в каком он играет здесь, компьютер следует теории на бросках, которые сразу занимают пункт (3-1, 4-2, 5-3, 6-1), и на 6-5. Там, где он с ней расходится, он ни разу не разделяет задние шашки. При 4-1 и 3-2 он играет 13/8, при 5-2 и 4-3 — 13/6: одна шашка на уже занятый пункт, ни одного блота. При 6-3, 6-2 и 2-1 он спускает с середины одну шашку (13/4, 13/5, 13/10), вместо того чтобы сделать сплит или привести двух строителей. Его оценка назначает каждому блоту штраф по вероятности удара, и при взгляде на один ход вперёд этот штраф перевешивает всё остальное. Теория рассуждает наоборот: в начале партии удар стоит дёшево, а строитель, который на следующем ходу может занять новый пункт, стоит риска. Если дать «Эксперту» время посмотреть на два хода вперёд, он приходит к тому же: без ограничения времени он играет стандартные 13/8 13/11, 13/9 13/10, 13/10 13/11 и 24/23 13/8. Но на обычном компьютере его бюджет в 0,8 секунды кончается раньше, чем этот перебор успевает что-то дать, и он делает ход «Сложного».

«Простой» выбирает наугад среди ходов, которые его простой счёт оценивает одинаково: с 6-5 он сыграл 24/13 в 24 пробах из 60, с 6-1 занял бар-пойнт в 37 из 60. Последний столбец — собственный код «Эксперта» с этой страницы с выключенными часами, чтобы все восемь его кандидатов получили перебор на два хода; на это уходит несколько секунд на ход.

Блоты: сколько из 36 бросков бьют

Блот сбивают, когда шашка соперника стоит ровно на нужном расстоянии и в броске есть это число — на одной кости, суммой двух костей или дублем, сыгранным три-четыре раза. В пределах шести пунктов хватает одной кости, а любое заданное число есть в 11 бросках из 36. С семи пунктов работают только комбинации, и число бросков резко падает. Точный счёт по всем 36 броскам, когда на пути ничего нет:

Удару комбинацией нужен свободный промежуточный пункт, на котором шашка остановится по пути. Поэтому ваши занятые пункты между бьющей шашкой и блотом отнимают удары. Несколько точных примеров:

• Семь — волшебное расстояние. Отодвинув блот с шести пунктов на семь, вы сокращаете удары с 17 до 6, почти втрое.
• Ближе — не значит безопаснее. Блот в одном пункте перед шашкой соперника бьют 11 бросков, в шести — 17. На прямом расстоянии риск растёт вместе с ним.
• Два числа хуже одного. Два блота на разных прямых расстояниях бьют как минимум 20 бросков из 36 — все, где есть хотя бы одно из двух чисел, — и это ещё без комбинаций.
• Удар далеко от дома стоит дёшево. Шашка, сбитая на вашем 22-м пункте, теряет всего три пипса, а сбитая на 4-м — 21 и должна снова пройти всю доску.

«Сложный» и «Эксперт» оценивают каждый свой и ваш блот ровно по первой таблице, для открытой доски; удары, которые отнимают пункты на пути, они не вычитают.

Пункты, праймы и бар

Дороже всего пункты, которые перекрывают дорогу: ваш 5-й (золотой пункт), затем 4-й и бар-пойнт. Они стоят прямо перед задними шашками соперника, и каждый отнимает у этих шашек нужное им число. Поэтому лучшие первые броски — 3-1, который занимает 5-й пункт, 4-2 — 4-й и 6-1 — бар-пойнт. Чем больше пунктов закрыто в вашем доме, тем труднее сбитой шашке вернуться. Это точный счёт:

Чего стоят эти построения, видно по смоделированным партиям. Ниже — как часто случалось событие и как часто сторона, добившаяся его первой, потом выигрывала: в 60 партиях «Эксперта» против «Сложного» и в 4000 партиях «Простого» против «Простого». Прайм засчитывается, только если за ним ещё стоит шашка соперника.

Якорь — две ваши шашки на одном пункте в доме соперника — нельзя сбить, и он делает невозможным полное закрытие: даже если все остальные пункты его дома заняты, вы входите с 11 бросками из 36 — с теми, где есть число вашего якоря. Продвинутый якорь — на его 5-м или 4-м пункте (ваш 20-й или 21-й) — к тому же отнимает у него лучшие пункты для стройки и даёт вашим задним шашкам лёгкий выход; якорь на его 1-м пункте тоже спасает от закрытия, но больше почти ничему не мешает.

Гонка и счёт пипсов

Счёт пипсов (пип-каунт) — это весь путь, который вашим шашкам ещё осталось пройти: для каждого пункта число шашек умножается на номер пункта, и за каждую шашку на баре прибавляется 25. В начале у обеих сторон по 167. Средний бросок проходит 8⅓ пипса (36 бросков, дубли считаются четырежды), поэтому право хода стоит примерно полброска — около четырёх пипсов. Когда армии разошлись, остаётся только гонка. Мы доиграли до конца 38 342 случайных позиций без контакта, где обе стороны снимали шашки по правилу уровня «Эксперт», и посчитали, как часто выигрывает тот, чей ход:

Значит, при равном счёте ходящий выигрывает около 60 гонок из ста — право хода стоит 3–4 пипса в гонках на 70–130, — а три к одному он становится при отрыве примерно в 10% своего счёта. Правило «8–10%», знакомое по книгам о бэкгаммоне, — это правило куба удвоения: оно отмечает, когда гонка достаточно сильна, чтобы удваивать, а не когда она равна. Куба здесь нет, так что нужна сама таблица: впереди на десятую часть счёта и при своём ходе вы выигрываете примерно три партии из четырёх, позади на столько же — около 35–45 из ста.

• Впереди в гонке: разрывайте контакт, бегите, не бейте, если удар не бесплатный. Каждый обмен ударами даёт отстающему ещё один шанс.
• Позади: держите якорь или заднюю шашку в его доме и ждите удара. Без контакта, отставая на 20% при ходе соперника, вы выигрываете примерно одну гонку из восьми.
• Быстрый счёт: считайте разницу, а не оба итога, — шашки на одинаковых пунктах взаимно сокращаются.

Выброс: отходы важнее пипсов

В самом конце пипсы — ещё не всё. Шашке на 1-м пункте для выброса нужна целая кость, какое бы число на ней ни выпало, а трём шашкам на одном пункте — три кости. Мы точно посчитали, сколько бросков в среднем нужно, чтобы выбросить все шашки при наилучшей игре, для позиций до пятнадцати шашек в доме, и сравнили позиции с их счётом пипсов:

* Число бросков × 8⅓, средний бросок: тот счёт пипсов, которому позиция соответствует на деле. Разница с настоящим счётом — это отходы.

• Ровный дом важнее меньшего счёта. Позиция в 54 пипса, разложенная по всем шести пунктам, выбрасывается на полброска быстрее, чем 45 пипсов, сложенные на 1-м, 2-м и 6-м пунктах.
• Заводите шашки на старшие пункты. Входя в дом, ставьте их на 6-й, 5-й и 4-й, а не загоняйте глубоко на 1-й и 2-й: у глубоких шашек большие числа потом расходуются впустую.
• Заполняйте пропуски. Пока выше пустого пункта остаются шашки, его число ничего не выбрасывает и уходит на ход внутри дома.
• Последние шашки: одной шашке на 6-м пункте нужно в среднем 1,25 броска; двум шашкам где угодно — не меньше одного броска, а двум на 6-м — 2,11.

Тут уровни сильно различаются. В 400 случайных решениях на выбросе, где выбор что-то значил, «Эксперт», который переходит на счёт гонки, выбрал не лучший ход лишь в 9% случаев. «Простой» и «Сложный» выбирали худший в 71–80% случаев, теряя каждый раз около пятой части броска: они держатся за пункты в доме, будто контакт ещё важен, — с 5-2, когда на 1-м пункте одна шашка, а на остальных по две, «Сложный» играет 6/1 6/4 и не выбрасывает ничего. За весь выброс это складывается: из ровного дома в 54 пипса из таблицы наилучшая игра снимает всё за 7,88 броска, «Эксперт» — за 7,92, «Простой» — за 8,89, «Сложный» — за 8,90. Целый бросок, около восьми пипсов, отдан даром.

Как обыграть каждый уровень

Все три уровня видят все допустимые способы разыграть бросок; различаются они тем, как оценивают результат. «Сложный» и «Эксперт» ближе друг к другу, чем говорят их названия. На перебор на два хода у «Эксперта» отведено 0,8 секунды, и большую часть этого времени съедает идущий первым просчёт на один ход: на компьютере, где мы мерили, в двух решениях из трёх при контакте «Эксперт» успевал углубить только первый вариант — то есть играл ровно ход «Сложного». По-настоящему он отличается в гонке и на выбросе. В 60 партиях друг против друга «Эксперт» выиграл 31. Таблица показывает, как часто игрок с каждой манерой обыгрывал каждый уровень (кто начинает, решает первый бросок, как в игре):

Против «Простого» — по 2000 партий на строку (4000 для самого «Простого»). «Сложный» и «Эксперт» думают около секунды на ход, поэтому против них сыграно только 6–60 партий на клетку: это грубые счёты, а не проценты. «Эксперт» запускался с фиксированными часами, которые воспроизводят его бюджет в 0,8 секунды на компьютере, где мы мерили. Марс и кокс считаются одной победой, как в общем счёте сайта; случайная игра проиграла «Простому» марсом или коксом 1915 партий из 2000.

• «Простой» смотрит только на счёт гонки и на блоты и бьёт всякий раз, когда удар выигрывает пипсы. Пункты, праймы и дом он не ценит, поэтому его обыгрывают стройкой: займите 5-й и 4-й пункты, заприте его задние шашки праймом и подбирайте их. Одними ответными ударами, как показывает строка «всегда бить», выходит лишь равная игра.
• «Сложный» ценит пункты, праймы и якоря и проверяет каждый ваш ответ. Слабее всего он в начале, где играет тихие ходы из первой таблицы, и блоты он оценивает, не учитывая ваши перекрывающие пункты. Берите темп, который он отдаёт в начале: делайте сплит, слотируйте нужные пункты — ставьте на них одиночную шашку, чтобы накрыть её следующим ходом, — стройте. И не бойтесь гонки: выбрасывает он примерно на бросок хуже, чем мог бы.
• «Эксперт» играет как «Сложный», пока есть контакт, а когда армии разошлись, переходит на чистый счёт пипсов и отходов. Обогнать его в гонке труднее всего, поэтому ваши шансы — в середине партии: прайм, якорь, вовремя нанесённый удар — до того, как начнётся гонка.

Ошибки, которые стоят дороже всего

• Блот в шести и меньше пунктах от шашки соперника, когда можно было оставить его в семи и дальше: 11–17 бьющих бросков вместо 6 и меньше.
• Чистая гонка, когда вы позади. Без контакта, отставая на десятую часть счёта при ходе соперника, вы выигрываете лишь примерно одну гонку из четырёх.
• Удары ради ударов, когда вы впереди в гонке: каждый обмен даёт отстающему ещё один шанс.
• Шашки, сложенные на младших пунктах при заходе в дом: можно быть впереди по пипсам и проиграть выброс.
• Слишком ранний уход с якоря. Пока у вас есть пункт в его доме, закрыть вас невозможно.