Как выиграть в мельницу: вилки, запирание и победа над компьютером

В какую именно мельницу здесь играют

У мельницы много домашних вариантов правил, так что стоит сказать точно, какой из них здесь. У каждого по девять фишек; вы играете синими и ходите первыми. В партии три фазы: расстановка — фишки ставят по одной; ходы — фишка передвигается по линии в соседнюю пустую точку; полёт — сторона, у которой осталось ровно три фишки, переставляет фишку в любую пустую точку.

• Мельница — три свои фишки на одной линии. Кто собрал мельницу, в любой фазе, снимает одну фишку соперника. Фишку из мельницы снять нельзя, пока у её хозяина есть фишки вне мельниц.
• Если один ход замыкает сразу две мельницы, снимается всё равно одна фишка.
• Проигрывает тот, у кого осталось две фишки, или тот, чья очередь ходить, а ни одна фишка сдвинуться не может.
• Ничья — если одна и та же позиция повторилась трижды или прошло 50 ходов без мельницы. Считаются ходы обеих сторон вместе, то есть по 25 ходов каждой.

На доске 24 точки и нет подписей, поэтому здесь используется обычная запись: буквы a–g слева направо, цифры 1–7 снизу вверх. Таблица — это карта доски: каждое число стоит на месте точки и показывает, сколько у этой точки соседей.

Каждая точка лежит ровно на двух линиях, так что любая может войти в две мельницы. Различаются точки числом соседей: у четырёх их четыре (d6, b4, f4, d2), у восьми — три, у двенадцати угловых — два.

Расстановка: какие точки сильнее

Обычный совет — занимать оживлённые точки, и по карте видно, какие это: четыре соседа есть только у d6, b4, f4 и d2. У фишки там больше всего выходов в дальнейшем, и она мешает наибольшему числу чужих ходов.

Мы проверили это на двух одинаковых игроках, действующих по правилам (лучшее правило из таблицы ниже): первую фишку принудительно ставили на точку каждого вида, по 2000 партий на вид.

Выходит, только начало с точки с четырьмя соседями оставляет начинающего в заметном плюсе; погрешность последнего столбца — около двух пунктов в каждую сторону. Компьютер с этим согласен. «Простой» занимает d6, когда она свободна, и b4, когда нет. «Сложный» и «Эксперт» при переборе на шесть полуходов на первую фишку на d7 или b6 ответили d6, а на первую фишку на d6 — b4; только на угол a7 они предпочли соседнюю с ним точку d7.

Вторая половина расстановки — момент, когда она заканчивается. Когда все восемнадцать фишек на доске, пустых точек остаётся шесть, и первый ход — ваш. Сторона, у которой нет хода, проигрывает сразу. Игрок, который следил только за мельницами и угрозами, проиграл «Простому» 61 партию из 2000 на этом самом первом ходу: его заперли раньше, чем начались ходы. Прежде чем ставить последние две-три фишки, проверьте, что хотя бы у одной вашей фишки останется пустая соседняя точка, — и посчитайте, сколько их останется у фишек компьютера.

Вилка и двойная мельница

Одна угроза — две фишки на линии и пустая третья точка — не выигрывает ничего ни у одного здешнего уровня: даже «Простой» каждый раз занимает третью точку. Фишку выигрывает угроза, от которой нельзя защититься. Таких угроз два вида.

• Вилка. Один ход создаёт сразу две угрозы на двух разных линиях. Одну соперник закроет — вторую вы замкнёте.
• Двойная мельница (по-немецки Zwickmühle; её ещё называют вертушкой). Пять фишек стоят так, что одна из них ходит между двумя линиями: выходя из одной мельницы, она замыкает другую. Каждый ход собирает мельницу и снимает фишку, и остановить это можно, только сняв или заперев ходящую фишку.

Цену этого легко измерить. Аккуратный игрок — тот, кто замыкает мельницу, когда она есть, и никогда не делает хода, после которого мельницу замкнёт компьютер, — выигрывает у «Простого» лишь 19% партий, а 70% сводит вничью: в них просто ничего не происходит. Добавьте одну привычку — «если среди безопасных ходов есть угроза, от которой нет защиты, делай её» — и тот же игрок выигрывает 90%.

Запирание — второй путь к победе, и он сильнее, чем кажется. Тот же аккуратный игрок, который каждый раз выбирает безопасный ход, оставляющий фишкам компьютера меньше всего пустых соседних точек, выигрывает у «Простого» 54% партий, не задумав ни одной мельницы; каждая шестая из этих побед — когда у компьютера вовсе не осталось хода. Сильные уровни делают с вами то же самое: «Эксперт» выиграл у такого игрока 16 партий из 20 запиранием, а не снятием фишек.

Не раскрывайте мельницу ради того, чтобы собрать её снова, если точка, с которой вы уходите, не в безопасности. Если на неё может встать чужая фишка или соперник отвечает своей мельницей, такой ход стоит вам мельницы.

Какую фишку снимать

Когда вы собрали мельницу, выбор снимаемой фишки значит примерно столько же, сколько ещё одна привычка из списка выше. Мы сравнили случайный выбор с простым порядком предпочтений:

1. Фишка, без которой соперник не сможет замкнуть мельницу следующим ходом.
2. Фишка из пары с пустой третьей точкой — из заготовки мельницы.
3. Иначе — фишка, у которой больше всего соседей: она самая подвижная и больше всех мешает вам.

Против «Простого» наше лучшее правило выигрывает 91,4% партий с таким порядком и 85,0% со случайным снятием; у аккуратного игрока без форсирующих ходов доля побед растёт с 19% до 25%. Снятие может оказаться и последним ходом партии: если после него у оставшихся фишек соперника нет пустых соседних точек, он проиграл, сколько бы фишек у него ни было.

Полёт: что могут три фишки

Окончания с тремя фишками достаточно малы, чтобы решить их полностью, и результаты не те, что подсказывает доска.

Три против трёх, летают обе стороны: из 2 691 920 возможных позиций тот, чей ход, выигрывает 82,9%, проигрывает 16,9%, и только 0,15% — ничьи. В 39% позиций он просто сразу замыкает мельницу, в остальных выигрывает тем, что создаёт угрозы быстрее, чем их успевают закрывать. Самый длинный форсированный выигрыш — 13 ходов. Когда у обоих по три фишки, очередь хода важнее расположения фишек.

Четыре против трёх, четыре фишки ещё ходят по линиям: сторона с четырьмя выигрывает, только если может замкнуть мельницу прямо этим ходом (9,9% позиций). Иначе добиться она ничего не может: четыре фишки, ходящие по линиям, никогда не грозят двумя разными мельницами сразу, а летающая фишка всегда успевает на единственную нужную точку. Если ход у трёх фишек, они выигрывают 13,5% позиций и не проигрывают ни одной; остальное — ничьи.

Поэтому не доводите соперника до трёх фишек, когда у вас самих только четыре: такое окончание в девяти случаях из десяти ничейное. Сохраните пять фишек или больше и двойную мельницу — тогда последняя фишка снимается следующим же ходом после того, который оставил ему три. В моделировании игрок с форсирующими ходами, оставив «Простому» три фишки, выиграл 1764 такие партии из 1845; аккуратный игрок без них выиграл 352 из 897, а 509 свёл вничью.

Как обыграть каждый уровень здесь

Вот как простые способы выбирать ход играют против каждого уровня. Каждое правило включает все предыдущие; между равными ходами выбор случайный; вы ходите первыми. В ячейках — ваши победы / ничьи / поражения.

* Столбец «Простого» — в процентах от 2000 партий на строку. «Сложный» и «Эксперт» ограничены по времени, поэтому их моделировали при фиксированной глубине в шесть полуходов, и в их столбцах — число партий, а не проценты. Шесть полуходов — предел для «Сложного»; «Эксперт» на быстром устройстве считает глубже, так что настоящий «Эксперт» не слабее. Прочерк — не моделировалось.

«Простой» смотрит на два полухода вперёд и считает только фишки и собранные мельницы. В нём нет ни случайности, ни часов, поэтому на одни и те же ходы он всегда отвечает одинаково. Когда реагировать не на что, он занимает самую оживлённую свободную точку в одном и том же порядке — d6, b4, f4, d2 — и пару с пустой третьей точкой он закрывает. Не видит он другого: второй угрозы и того, что у его фишек кончаются ходы. Отсюда самый короткий выигрыш из возможных:

1. b2 — «Простой» отвечает d6
2. d2 — f2 (закрывает вашу линию)
3. b4 — b6
4. f6 — f4
5. d5 — d7
6. a1 — a4
7. g1 — d1
8. g4 — g7
9. e4 — a7: это мельница a7–d7–g7, и «Простой» снимает вашу фишку с b4
10. Ход b2–b4. У красных фишек на a7, d7, g7, b6, d6, a4, f4, f2 и d1 нет ни одной пустой соседней точки: вы выиграли.

Быстрее не выиграть ни у какого соперника: сторона может проиграть, только когда выставит все фишки, а первая очередь хода компьютера после этого наступает сразу за вашим десятым ходом. Доводить партию до конца «Простой» тоже не умеет: у игрока, который ходит наугад, он выиграл 64,5% из 2000 партий, а 35,3% свёл вничью.

«Сложный» считает на шесть полуходов и учитывает пары с пустой третьей точкой и свободу ходов, поэтому уже в расстановке строит вилки. Против нашего лучшего правила он первым собрал мельницу в 25 партиях из 30, а игрок по правилам к концу расстановки отставал на фишку или больше в 22. Все пять побед этого игрока получились одинаково: на тринадцатом ходу «Сложный» остался без хода. Вывод практический: против «Сложного» играйте на запирание, а в расстановке ищите его вилки на два хода вперёд, а не на один.

«Эксперт» в расстановке ценит запирание, в середине партии — свободу ходов, в окончании — фишки. При шести полуходах он первым собрал мельницу в 28 партиях из 30 против нашего лучшего правила и не проиграл ни одной из 110 партий ни одному правилу из таблицы — и ни одной не свёл вничью. Готового рецепта против «Сложного» и «Эксперта» нет: глубина их перебора зависит от вашего устройства. Мельницу в 1993 году решил Ральф Гассер: при безошибочной игре обеих сторон партия заканчивается вничью. Это известный результат, а не наш расчёт, и он задаёт разумную цель против «Эксперта»: ничья повторением ходов — хороший итог.

Правила по порядку важности

1. Перед каждым ходом проверяйте, что после него соперник не замкнёт мельницу.
2. Ищите угрозу, от которой нет защиты: вилку в расстановке, двойную мельницу в фазе ходов.
3. Считайте пустые соседние точки: свои берегите, чужие отнимайте. Запертая сторона проигрывает и со всеми девятью фишками на доске.
4. Перед последними фишками расстановки убедитесь, что после неё у вас будет ход.
5. Снимайте сначала фишку, без которой не соберётся его следующая мельница, затем фишку из пары, затем самую подвижную.
6. Начинайте с d6, b4, f4 или d2, когда можно.
7. Не оставляйте сопернику три летающие фишки против ваших четырёх: это ничья в девяти случаях из десяти.

Против «Простого» одно только правило 1 выигрывает 19% партий; правила 1 и 3 — 54%; правила 1 и 2 — 90%; все вместе — 91% при двух поражениях на 2000 партий.