Как выиграть в манкалу: лучший первый ход, повторные ходы и победа над компьютером

В какую манкалу играет эта страница

«Манкала» — это сотни разных игр, и советы для одной не подходят к другой. Здесь это калах: шесть лунок с каждой стороны, по четыре камня в каждой, всего 48 камней, так что 25 в амбаре — победа. Для стратегии важны такие подробности:

• Вы всегда ходите первыми. Камни раскладываются против часовой стрелки по одному в лунку; в свой амбар камень кладётся, амбар компьютера пропускается.
• Если последний камень упал в ваш амбар, вы ходите ещё раз — и так сколько угодно раз подряд.
• Если последний камень упал в пустую лунку на вашей стороне, а в лунке напротив есть камни, вы забираете их вместе со своим камнем. Если напротив пусто, захвата нет и камень остаётся лежать, где упал.
• Лунка с 13 камнями обходит всю доску и заканчивает там же, откуда начала. В этот момент она пуста, так что это тоже захват.
• Партия останавливается, как только у любой из сторон опустели все шесть лунок, — даже посреди вашей серии повторных ходов, — и второй игрок забирает в амбар всё, что осталось перед ним.

Подписей на странице нет, поэтому здесь ваши лунки пронумерованы от 1 до 6 слева направо; шестая — та, что рядом с вашим амбаром. Лунка верхнего ряда называется по номеру вашей лунки, напротив которой она стоит: «верхняя 5» — лунка компьютера над вашей пятой.

Лучший первый ход — точно

Игра достаточно мала, чтобы решить её полностью. По описанным правилам идеальная игра обеих сторон заканчивается со счётом 28:20 в пользу того, кто ходит первым, — то есть в вашу. Но уже первый ход решает, сохранится ли этот выигрыш:

В третьей лунке четыре камня, и до амбара от неё четыре шага, так что это единственный первый ход, который даёт ещё один. Как вы им распорядитесь, не менее важно:

Так выглядит доска после ходов 3 и 6: два камня в амбаре, а в четырёх лунках компьютера по пять камней. Его лучший ответ — верхняя 5, она сохраняет счёт 28:20; любой другой ответ проигрывает больше, от 29:19 до 33:15. Сам повторный ход можно оценить точно: если бы сразу после лунки 3 ход перешёл к компьютеру, идеальная игра закончилась бы 23:25. Второй ход подряд стоит десять камней.

Решено нашей собственной программой для правил этой страницы (захват только тогда, когда в лунке напротив есть камни). Программу мы сверили с простым полным перебором на коде ходов самой страницы в 400 позициях — расхождений нет. То, что калах с шестью лунками и четырьмя камнями выигрывает начинающий, известно с 2000 года.

Повторные ходы: правило, которое почти всегда верно

Чтобы узнать, какие практические правила выдерживают проверку, мы взяли 3000 позиций из партий двух неплохих игроков и в каждой точно оценили все допустимые ходы. Повторный ход был возможен в 53% из них. Взять его — причём самой правой из подходящих лунок — было точно лучшим ходом в 93,5% таких позиций и стоило в среднем 0,23 камня. Лучший из ходов, передающих очередь, был в среднем на 3,15 камня хуже.

• Лунка даёт повторный ход, когда камней в ней столько же, сколько шагов до амбара: один камень в шестой лунке, два в пятой, три в четвёртой и так далее до шести в первой.
• Если таких лунок несколько, начинайте справа. Там, где их было две и больше, начать с самой правой было лучшим решением в 97,9% позиций; начать с левой — в 38,2%, и стоило это в среднем 3,7 камня. Ход из левой лунки добавляет по камню в лунки правее и сбивает в них счёт; ход из правой ничего позади себя не трогает.
• Считайте всю серию до первого хода. В партиях равных игроков 68% очередей состояли из одного хода, 21% — из двух, 11% — из трёх и больше; самая длинная серия — 14 ходов.

Сторона, у которой повторных ходов было больше, выиграла 75% этих партий. Отчасти дело в самом праве первого хода: начинавший делал в среднем 10,6 повторного хода за партию, его соперник — 4,7.

Захваты: меньше и ненадёжнее, чем кажется

Захват кажется главным событием партии, но чаще всего он невелик. У равных игроков на партию приходилось около пяти захватов, и 69% из них приносили ровно два камня: один из лунки напротив и свой собственный. Захват в восемь камней и больше случался в одной партии из пяти.

Да и самый крупный захват — не беспроигрышный выбор. Там, где захват был возможен, а повторный ход — нет, самый крупный захват был точно лучшим ходом в 58% позиций и стоил в среднем 3,3 камня. Там, где было возможно и то и другое, повторный ход был верным решением в 91% позиций, а захват — в 49%. Так что порядок такой: сначала повторный ход, потом смотрим на захват — и перед тем как брать, проверяем, что наш ход оставит напротив пустых лунок компьютера.

Защита — та же мысль с другой стороны. Лунка компьютера, которая пуста или в которую его ход придёт последним камнем, угрожает всему, что лежит у вас в лунке под ней. Простое правило — повторный ход, иначе самый крупный захват, иначе ход, после которого лучший захват компьютера минимален, — выигрывает у «Простого» 62% партий; то же правило без последней проверки — 55%.

Шестая лунка: не трогайте кучу

У камней из вашей самой правой лунки только две дороги: один — в ваш амбар, остальные — на сторону компьютера. В позициях, где в шестой лунке лежало два камня или больше и был другой ход, опустошить её было лучшим решением всего в 27% случаев и стоило в среднем 6,9 камня; лучший из других ходов стоил 0,5. Когда камней в ней шесть и больше, ход из неё был верным в 19% случаев и стоил 8,3.

Есть и вторая причина держать камни у себя. Когда у компьютера пустеет ряд, всё, что лежит на вашей стороне, уходит в ваш амбар. Выигрышная последовательность против «Сложного» ниже построена только на этом: перед последним ходом у вас в амбаре 3 камня против 17, и вы всё равно выигрываете.

Но и полный запрет — не стратегия. Правило, которое никогда не трогает шестую лунку, если она не даёт повторного хода, а в остальном играет не думая, выступило против «Простого» хуже, чем то же правило без запрета: 41,5% против 55%. Берегите кучу, пока есть полезный ход в другом месте, но не любой ценой.

Как обыграть каждый уровень здесь

Вот как простые способы выбирать ход играют против каждого уровня. Вы ходите первыми; там, где правило оставляет выбор, он делается наугад.

* «Эксперт» ограничен по времени (около трети секунды), поэтому глубина его расчёта зависит от устройства. Столбец «Эксперта» смоделирован при фиксированной глубине в девять передач хода — столько он успевал в середине партии на нашем компьютере; «Сложный» всегда считает на восемь. По 10 000 партий на каждое число против «Простого», по 400 против «Сложного», по 200 против «Эксперта». Последняя строка — перебор самой страницы, ограниченный тремя передачами хода и играющий за вас. Прочерк — не моделировалось.

«Простой» сильнее своего названия: он берёт то, что этим ходом приносит в амбар больше всего, и игрок, который ходит наугад, выигрывает у него две партии из ста. Его слабость в том, что он никогда не смотрит на ваш ответ. Правила на один ход выигрывают у него примерно половину партий, а расчёт на три шага — ваш ход, его ответ, ваш следующий ход — 97,5%. При равенстве он выбирает случайно, поэтому готовой последовательности ходов против него нет.

«Сложный» за семь ходов. В «Сложном» нет случайности: на одну и ту же позицию всегда один и тот же ответ, так что партия, выигранная у него однажды, выигрывается всегда. Нажимайте лунки 6, 3, 3, 1, 3, 1, 3. Короче выигрыша нет — мы проверили все последовательности из шести ходов и меньше.

«Сложный» ценит камень в амбаре в шесть раз выше камня на доске, поэтому торопится переправить камни в амбар и на вашу сторону, пока его собственный ряд не опустеет; тогда 25 камней с вашей стороны уходят в ваш амбар. У «Эксперта» такого рецепта нет: глубина его расчёта зависит от устройства, и против него на глубине девять или десять эта последовательность партию не заканчивает. Но и далеко от «Сложного» он не ушёл. По точным оценкам «Сложный» находит лучший ход в 82% позиций и теряет в среднем 0,7 камня за ход, а в наших пробных партиях перебор самой страницы всего на четыре передачи хода, начав с шестой лунки, обыграл «Эксперта» на глубине девять со счётом 26:22.

Правила по порядку важности

1. Начинайте с лунки 3, затем лунка 6. Ни один другой первый ход не сохраняет полные 28:20.
2. Берите повторный ход всегда, когда он есть, начиная с самой правой подходящей лунки.
3. Не трогайте кучу в шестой лунке, пока есть полезный ход в другом месте.
4. Перед захватом и перед любым тихим ходом посмотрите, что компьютер сможет захватить в ответ.
5. Помните, чем кончается партия: когда один ряд пуст, второй игрок забирает весь свой ряд. Камни на вашей стороне — ваши.

Если следовать этому списку вслепую, в самом простом виде — повторный ход, иначе самый крупный захват, иначе самая правая лунка, — точно лучший ход получается в 72% позиций, а теряется два камня за ход. «Сложный» теряет 0,7. Вся разница — во взгляде на ответ соперника.