«Точки и квадраты» выигрываются во второй половине партии, когда безопасные линии кончаются и квадраты уходят целыми цепочками. Почти всю работу делают три привычки: не проводить третью сторону квадрата, пока есть безопасная линия; когда жертвовать всё же приходится — отдавать самую короткую цепочку; а получив цепочку, останавливаться за два квадрата до конца, чтобы следующую открывал компьютер. В моделировании это выигрывает 97% партий у здешнего «Простого», 88% у «Сложного» и 75% у «Эксперта» — а «Эксперт», в котором нет никакой случайности, каждый раз проигрывает 24:1 одной и той же последовательности ходов.
Линия безопасна, если после неё ни у одного квадрата не оказывается трёх сторон. Пока оба игрока проводят только безопасные линии, никто ничего не берёт. На этой доске так проходит половина партии: когда обе стороны выбирали безопасные линии наугад, они кончались в среднем после 30 линий из 60, и ни разу в 3000 партий — раньше 26-й или позже 34-й.
Во что обходится небрежная третья сторона, легко измерить на «Простом», самом слабом уровне:
| Ваша игра | Победы над «Простым» |
|---|---|
| Любая линия наугад | 0 из 10 000 (меньше одного квадрата за партию) |
| Брать каждый доступный квадрат, в остальном наугад | 3,6% |
| То же, но только безопасные линии, пока они есть | 47% |
Последняя строка — в точности игра самого «Простого», так что 47% вы получаете, не делая ничего сверх того, что делает он. Всё, что выше, берётся во второй половине партии.
К моменту, когда безопасные линии кончаются, доска обычно распадается примерно на три длинные цепочки (от трёх квадратов) и три короткие, а самая длинная в среднем состоит из 7–8 квадратов. В каждой пятой позиции есть петля. И в 91% позиций у какого-нибудь квадрата ещё остаются три или четыре открытые стороны — это развилка, где цепочки сходятся, — так что с первыми жертвами картина продолжает меняться.
Рано или поздно любая оставшаяся линия отдаёт сопернику квадрат. Тогда посчитайте, сколько отдаёт каждая, и откройте самое дешёвое. Только этим здешний «Сложный» и отличается от «Простого», и для игрока это самый большой шаг из всех: против «Простого» доля побед вырастает с 47% до 85%, против «Сложного» — с 7% до 41%, против «Эксперта» — с 4% до 25%.
С цепочкой из двух квадратов нужна особая аккуратность: открыть её можно тремя линиями, и они неравноценны.
«Эксперт» эту разницу знает. В проверочной позиции с цепочкой из двух квадратов и четырьмя цепочками по пять мы открыли короткую цепочку с конца — «Эксперт» от обоих квадратов отказался. Когда её открыли посередине, он взял оба, и ему пришлось открыть цепочку из пяти. «Простой» и «Сложный» берут два квадрата в обоих случаях.
Поэтому против «Простого» и «Сложного» неважно, где открывать цепочку из двух квадратов. Против «Эксперта» — важно: один и тот же игрок выиграл 75,5% из 3000 партий, открывая такие цепочки посередине, и 68% из 1500, открывая их где придётся.
Когда вам отдают цепочку, естественно съесть её целиком — а потом, раз безопасных линий нет, открыть следующую цепочку сопернику. Можно иначе: взять все квадраты, кроме двух последних, и провести линию, которая оставляет эти два сопернику — он закроет их одним ходом. Он их берёт, и следующую цепочку открывать по-прежнему ему. За контроль вы платите по два квадрата с цепочки, а последнюю съедаете целиком.
Сколько это стоит, можно посчитать точно. Возьмём позицию, где остались только ряды по пять квадратов — все горизонтальные линии проведены, вертикальные нет, — и открывать один из них должен соперник. Такие позиции мы решили полным перебором:
| Осталось цепочек по пять | Оба съедают всё | Лучшая игра (точно) |
|---|---|---|
| 2 | 5:5 | 8:2 в вашу пользу |
| 3 | 10:5 в вашу пользу | 11:4 в вашу пользу |
| 4 | 10:10 | 14:6 в вашу пользу |
При четырёх цепочках приём превращает равную концовку в победу с перевесом в восемь квадратов. В целых партиях эффект виден так же ясно. Игрок, который берёт квадраты, проводит безопасные линии наугад и жертвует самую дешёвую цепочку, выигрывает 86% партий у «Простого», 41% у «Сложного» и 24% у «Эксперта». Добавьте приём «все, кроме двух» — и получится 97%, 88% и 75%; против «Сложного» это в среднем на 4,7 квадрата за партию больше.
Правило цепочек — та часть теории, которая ещё до первого взятого квадрата говорит, у кого в итоге окажется контроль. Его точная форма, из книги Берлекэмпа: число точек плюс число двойных взятий — линий, закрывающих сразу два квадрата, — равно числу ходов-серий в партии. На этой доске 36 точек. Вы ходите первыми, поэтому последняя серия ваша ровно тогда, когда двойных взятий нечётное число. Мы проверили 4500 смоделированных партий: равенство выполнилось в каждой.
Последняя серия — это обычно последняя и самая большая цепочка. Когда оба игрока следовали правилу «Сложного», сторона, которой досталась последняя серия, выиграла 90% из 2000 партий, а другая — 3%.
Отсюда практическая форма правила: при 36 точках первому игроку — то есть вам — нужно чётное число длинных цепочек на доске, а компьютеру нечётное. Петли не считаются. Часть этого видна напрямую. Когда доска состоит только из отдельных цепочек, оставшихся линий ровно 25 плюс число цепочек, поэтому первым открывать приходится компьютеру именно тогда, когда цепочек любой длины чётное число. Так было во всех 357 таких позициях в наших партиях.
Теперь честно. Против трёх здешних уровней правило цепочек решает очень мало:
Дело в том, что правило рассчитано на соперника, который за контроль борется. «Простой» и «Сложный» отдают его, как только съедают первую цепочку, «Эксперт» — достаточно часто. Против них гораздо важнее, что вы делаете с полученной цепочкой, чем то, кто открывает первым. Против сильного человека — считайте цепочки.
| «Простой» | «Сложный» | «Эксперт» | |
|---|---|---|---|
| Вынужденная жертва | случайная линия | самая дешёвая | самая дешёвая |
| Получил цепочку | съедает целиком | съедает целиком | оставляет два квадрата, когда это выгодно |
| Получил петлю | берёт все четыре | берёт все четыре | берёт все четыре |
| Цепочка из двух открыта с конца | берёт оба | берёт оба | отказывается, когда это выгодно |
| Те же ходы — те же ответы? | нет | нет | да |
А вот как простые способы игры выступают против каждого уровня (вы ходите первыми; между равноценными линиями выбор случайный):
| Ваша игра | против «Простого» | против «Сложного» | против «Эксперта» |
|---|---|---|---|
| Любая линия наугад | 0% | 0% | 0% |
| Брать каждый квадрат, в остальном наугад | 3,6% | 0,3% | 0,5% |
| + только безопасные линии, пока они есть (так играет сам «Простой») | 47% | 7% | 4% |
| + самая дешёвая жертва (так играет сам «Сложный») | 85% | 41% | 25% |
| + «все, кроме двух», когда осталась длинная цепочка; цепочки из двух открывать посередине | 97% | 88% | 75% |
| + подсчёт последних двенадцати безопасных линий | 98% | 88% | 76% |
По 10 000 партий на каждое число против «Простого» и «Сложного» (в последней строке — 3000), по 3000 против «Эксперта» (в последней строке — 1000). Обратите внимание на 41%: играя в точности как «Сложный» и делая первый ход, вы выигрываете меньше половины партий — 40% в отдельной серии из 5000.
«Простой» и «Сложный» проигрывают одному и тому же. Они берут каждый предложенный квадрат, поэтому первая же длинная цепочка, которая вам достаётся, отдаёт вам контроль до конца партии: возьмите все квадраты, кроме двух, оставьте пару компьютеру — и следующую цепочку откроет он. «Сложный» лишь заставляет дольше ждать этой первой цепочки, потому что открывает самую короткую из имеющихся.
«Эксперт» сам играет двойной крест, но слабых мест у него три: петли он съедает целиком; жертву выбирает, считая, сколько взял бы жадный игрок; а пока линий больше четырнадцати, действует по правилам, а не по расчёту. В 500 партиях против игрока с приёмом «все, кроме двух» он открывал в среднем 2,4 длинной цепочки за партию, а игрок — 0,8.
К тому же в «Эксперте» нет случайности, так что партия, выигранная однажды, выиграна навсегда. Почти на любой первый ход он отвечает верхней левой линией и идёт дальше вдоль верхнего края. Точки здесь называются по столбцу, a–f слева направо, и ряду, 1–6 сверху вниз (в самой игре подписей нет); a1-b1 — верхняя левая горизонтальная линия.
Партия кончается со счётом 24:1. Когда «Эксперт» выбирает ход, на доске ни разу не остаётся меньше 24 линий, поэтому его перебор эндшпиля с ограничением по времени не включается, и скорость вашего устройства ни на что не влияет. Если «Эксперт» вдруг ответит иначе — значит, код игры изменился и последовательность больше не годится.
Первые два правила выигрывают 85% партий у «Простого», но лишь 41% у «Сложного» и 25% у «Эксперта»; третье поднимает это до 97%, 88% и 75%.
Пока можно, проводите только безопасные линии; когда нельзя — жертвуйте самую короткую цепочку; а получив цепочку, берите все квадраты, кроме двух последних, чтобы следующую открывал соперник. Против здешнего компьютера эти три правила в моделировании выигрывают 97% партий у «Простого», 88% у «Сложного» и 75% у «Эксперта».
Отказ от двух последних квадратов цепочки: вместо того чтобы взять их, вы проводите линию, которая оставляет оба сопернику; он закрывает их одним ходом, и следующую цепочку приходится открывать ему. Это стоит двух квадратов (в петле — четырёх) и сохраняет вам контроль. Когда осталось четыре цепочки по пять, приём превращает концовку 10:10 в 14:6 — это точный расчёт.
Число точек плюс число двойных взятий равно числу ходов-серий. На доске с 36 точками, как здесь, последняя серия достаётся первому игроку при чётном числе длинных цепочек и второму — при нечётном. Равенство выполнилось во всех 4500 смоделированных партиях, но против здешних уровней число цепочек почти ничего не предсказывало: контроль они отдают сами.
Зависит от доски. Маленькие мы решили точно: на поле 2×2 квадрата первый игрок выигрывает 3:1, на поле 3×3 второй выигрывает 6:3. Здешняя доска 5×5 для этого слишком велика. В наших партиях из двух одинаковых игроков, следующих правилу «Сложного», тот, кто ходил первым, выиграл 40% из 5000 партий.
Да, на любом здешнем уровне. «Простой» и «Сложный» никогда не отказываются от квадрата, поэтому обычно хватает взять все квадраты, кроме двух, в первой же длинной цепочке, которую они отдадут. В «Эксперте» нет случайности: восемнадцать линий, перечисленных на этой странице, после которых остаётся забрать всё, что он откроет, обыгрывают его 24:1 каждый раз.
Только когда безопасных линий не осталось, и тогда как можно меньше: против «Простого» самая дешёвая цепочка вместо случайной поднимает долю побед с 47% до 85%. Второй случай — двойной крест, когда вы нарочно отдаёте два квадрата, чтобы следующую цепочку открывал соперник.