В хексе выигрывают, соединяя, а не мешая, и главный инструмент — мост: два ваших камня с двумя пустыми клетками между ними не разрезать, потому что на ход компьютера в одну клетку вы отвечаете другой. «Сложный» смотрит всего на два хода вперёд и каждый раз отвечает одинаково, поэтому его обыгрывают семь ходов — меньше не бывает: g1, f2, e3, d4, c5, b6, b7. Против «Эксперта» на его обычной глубине каждый раз выигрывала линия d4, f2, f3, f4, e6, f1, f5, e7, а игрок, который взвешивает оба пути — свой и компьютера, — выигрывает у «Обычного» 95% партий.
Доска — ромб 7×7 из шестиугольников. Вы играете красными и соединяете верхний край с нижним; компьютер играет синими и соединяет левый край с правым. Первый ход всегда ваш, а правила обмена нет: компьютер не может забрать ваш первый камень себе.
В самой игре клетки не подписаны, поэтому здесь они названы как на шахматной доске: столбцы a–g слева направо вдоль вашего верхнего края, ряды 1–7 сверху вниз. Каждый ряд сдвинут на полклетки вправо относительно верхнего, так что доска наклонена вправо. Центр — d4; ваши края — ряды 1 и 7, края компьютера — столбцы a и g.
У каждой внутренней клетки шесть соседей. У d4 это c4 и e4 в её ряду, d3 и e3 над ней, c5 и d5 под ней. Запомнить просто: сверху — та же буква и следующая, снизу — предыдущая и та же. Поэтому прямая линия сверху вниз идёт не по одному столбцу, а каждый ряд смещается на букву влево: g1, f2, e3, d4, c5, b6, a7.
У острых углов, a1 и g7, всего по два соседа, у тупых, g1 и a7, — по три. Угловые клетки принадлежат краям обоих игроков.
За каждой партией стоят две теоремы; их историю рассказывает статья под доской, а здесь только то, что они значат для вас.
На практике теорема ничего не обещает: из выигранной позиции случайный игрок победил «Обычного» один раз из 5000 партий, а «Сложного» — ни разу из 2000. Побеждает техника, и вся остальная страница — о ней.
Два соседних камня соединены навсегда. Два несоседних камня с двумя общими пустыми соседями тоже соединены — если вы отвечаете: компьютер занял одну общую клетку, вы занимаете другую. Такая фигура называется мостом, и это основной ход в хексе: одним камнем он покрывает два ряда, а шаг вплотную — только один.
| Мост от d4 к | Две общие клетки | Направление |
|---|---|---|
| c6 | c5 и d5 | на два ряда вниз, на букву назад |
| e2 | d3 и e3 | на два ряда вверх, на букву вперёд |
| e5 | e4 и d5 | на ряд вниз, на букву вперёд |
| c3 | c4 и d3 | на ряд вверх, на букву назад |
Первые два переносят вас через доску, последние два сдвигают вбок, не теряя связи.
У краёв работает тот же приём — шаблон у края. Камень в ряду 6 касается двух клеток ряда 7 — c6 касается b7 и c7, — поэтому, если обе пусты, он уже соединён с нижним краем: какую бы клетку ни занял компьютер, вы займёте другую. Так же камень в ряду 2 соединён с верхним краем (c2 касается c1 и d1). Игроки знают и шаблоны крупнее, например «зиккурат» для камня в третьем ряду от края, но им нужно больше пустого места и больше внимания (теория).
К этому прилагается привычка отвечать на вторжение: если компьютер сходил в ваш мост или шаблон, закройте его сразу. Мы дали простому игроку — он только сокращает свой путь — одно это дополнительное правило. Против «Обычного» его победы выросли с 63% до 67% (по 5000 партий), против «Сложного» — с 8,8% до 15% (по 2000 партий). Все выигрышные линии на этой странице кончаются одинаково: компьютер занимает одну клетку шаблона, вы — другую.
Мосты компьютер знает: его оценка считает мост между двумя его камнями почти готовым соединением. Шаблонов у края он не знает и камень во втором от края ряду считает всё ещё не дотянутым до края на одну клетку.
Классический совет: камень, поставленный прямо перед камнем соперника, мешает мало — обойти его всегда можно с двух сторон. Блок работает, когда стоит на несколько рядов впереди и может встретить путь, куда бы тот ни свернул (теория и долгий опыт игроков).
«Сложный» показывает почему. В выигрыше за семь ходов ниже каждый его камень встаёт вплотную к вашему последнему, а вы просто шагаете с другой стороны: g1, f2, e3, d4, c5, b6 идут прямо по короткой диагонали, а «Сложный» отвечает g2, f3, e4, d5, c6 и потом a7 — слишком поздно.
На этом движке измерено, что важно считать оба пути. Простые игроки, по 5000 партий против «Обычного»:
| Как выбирается ход | Победы над «Обычным» |
|---|---|
| Случайная пустая клетка | 0,02% (1 партия) |
| Сократить свой путь к дальнему краю, не глядя на путь компьютера | 63% |
| То же, и отвечать на вторжения в мосты и шаблоны у края | 67% |
| Сократить свой путь и удлинить путь компьютера: клетка с лучшей разностью | 95% |
| То же, на два хода вперёд | 99,1% |
«Путь» здесь — то, что измеряет сам компьютер: сколько пустых клеток не хватает самой дешёвой цепочке между двумя краями игрока. Скачок с 63% до 95% — это и есть цена защиты: ход, который сокращает ваш путь на клетку и удлиняет путь компьютера на клетку, стоит двух.
По теории на доске 7×7 центр выигрывает. Против здешних движков первый ход значит гораздо меньше, чем то, что за ним следует: мы фиксировали каждый из 49 первых ходов, и пять детерминированных игроков доигрывали партию против «Сложного» и «Эксперта» (по одной партии — случайности там нет), а игрок, взвешивающий оба пути на ход вперёд, сыграл по 100 партий от каждого первого хода против «Обычного».
| Первый ход | Против «Обычного» (100 партий) | Выиграно фиксированных проверок (из 5) |
|---|---|---|
| g1 (тупой угол) | 96% | 4 |
| e2, f2, g2 (рядом с ним) | 99–100% | по 3 |
| d4 (центр) | 97% | 1 |
| a1, g7 (острые углы) | 70% и 90% | 0 и 2 |
| b4 | 31% | 0 |
| Все 49 ходов в среднем | 87% | 1,3 |
Бросаются в глаза две вещи. Лучше всего показали себя клетки у тупого угла g1, а центр, теоретический победитель, против этих движков выиграл только одну проверку из пяти. Слабые первые ходы — в основном клетки у краёв и несколько клеток слева, вроде b4, a5 и a6: против «Обычного» первые ходы у края дали в среднем 84%, внутренние — 89%.
Фиксированные проверки: игроки на один и на два хода вперёд против «Сложного», на один и на три хода вперёд против «Эксперта» на глубине четыре и на четыре хода вперёд против «Эксперта» на глубине пять. Это одиночные партии, так что столбец — подсказка, а не рейтинг.
Все три уровня сначала занимают выигрывающую клетку, если она есть, затем закрывают вашу, если вы грозите выиграть следующим ходом. Дальше:
«Сложный» за семь ходов. Быстрее выиграть нельзя: вашей цепочке нужен камень в каждом из семи рядов. Играйте g1, f2, e3, d4, c5, b6, b7. «Сложный» отвечает g2, f3, e4, d5, c6, a7, и b7 замыкает цепочку: под b6 были свободны и b7, и a7, а компьютер успел занять только одну.
Вторая линия в семь ходов начинается с центра: d4, e3, f2, d5, f1, c6, c7. «Сложный» отвечает d2, b3, a5, g3, d6, b7. Ваша цепочка — f1–f2–e3–d4–d5–c6–c7. Обе линии выигрывают и у движка, считающего на три хода вперёд: на первую он отвечает так же, на вторую — иначе, но проигрывает обе.
«Эксперт» за восемь ходов. Играйте d4, f2, f3, f4, e6, f1, f5, e7. «Эксперт» отвечает e2, e3, e4, c6, a7, e5, d7, и вы выигрываете. Ваш столбец f1–f4 соединён с e6 мостом (e5 и f5), e6 с нижним краем — шаблоном (d7 и e7), и «Эксперт» вторгается в оба слишком поздно. На глубине шесть он отвечает на четвёртый ход d6 вместо c6 и на пятый b7 вместо a7, а линия всё равно выигрывает; с настоящими часами она выиграла все три раза, что мы её проверяли.
Линия против «Эксперта» зависит от того, насколько глубоко он успевает считать, поэтому на медленном устройстве она может не сработать: на глубинах от двух до четырёх и на семи компьютер отвечает иначе, и линия упирается в занятую клетку. Для медленного устройства есть другая линия: e2, c4, c3, b6, c5, c2, c1, b7 выигрывает у движка на глубинах два, три и четыре (на четырёх ответы такие: e3, d3, g2, b5, d2, b1, a7), а линии в семь ходов против глубины четыре с первым ходом e2, g1 или d4 нет вовсе. Линии против «Сложного» от устройства не зависят. «Обычный» случаен: центральная линия против «Сложного» обыграла его лишь в 20% из 2000 партий, так что против «Обычного» играйте по принципам, а не по списку.
| Ваше правило | Против «Обычного» | Против «Сложного» | Против «Эксперта»* |
|---|---|---|---|
| Случайная пустая клетка | 0,02% | 0% | 0% |
| Сокращать свой путь | 63% | 8,8% | 0,6% |
| … и отвечать на вторжения в мосты и шаблоны | 67% | 15% | 1,2% |
| Лучшая разность двух путей на ход вперёд | 95% | 12 из 49 первых ходов | 3 из 49 первых ходов |
| То же на два-три хода вперёд | 99,1% | 21 из 49 (на два) | 15 из 49 (на три) |
* «Эксперт» на фиксированной глубине четыре — слабее, чем он играет на быстром компьютере; по 500 партий на правило в первых трёх строках. В двух последних правилах случайности нет, поэтому против «Сложного» и «Эксперта» они сыграли по одной партии от каждого первого хода. «Обычный» — по 5000 партий на правило.
Одно только взвешивание обоих путей поднимает простого игрока против «Обычного» с 63% до 95%; готовые линии выигрывают у «Сложного» каждый раз.
Нет. Когда доска заполнена, соединяющая цепочка есть ровно у одного игрока: перекрыть соперника везде — значит соединиться самому. Это теорема (Гейл, 1979), и поэтому партия здесь всегда кончается победой одной из сторон.
При идеальной игре — да: «кража стратегии» Нэша доказывает, что у первого игрока есть выигрышная стратегия на доске любого размера, но не говорит, какая. Поэтому в серьёзных партиях применяют правило обмена. Здесь его нет и вы ходите первыми, так что по теории вы всегда можете выиграть.
На доске 7×7 центр, d4, — доказанно выигрывающий ход. Против здешнего компьютера первый ход значит меньше, чем дальнейшая игра: игрок, взвешивающий оба пути, выигрывал у «Обычного» в среднем 87% партий по всем 49 первым ходам, а лучше всего показали себя клетки у тупого угла g1.
Два ваших несоседних камня с двумя общими пустыми соседями, например d4 и c6 с общими c5 и d5. Одним ходом его не разрезать: соперник занимает одну общую клетку — вы занимаете другую. Это основной способ быстро и надёжно пересечь доску.
«Сложного» здесь обыгрывает линия g1, f2, e3, d4, c5, b6, b7 — каждый раз, за семь ходов, быстрее невозможно. Против «Эксперта» на его обычной глубине каждый раз выигрывала линия d4, f2, f3, f4, e6, f1, f5, e7. Против «Обычного», который играет случайно, взвешивайте оба пути и отвечайте на вторжения в мосты — это около 95% побед.
После первого хода второй игрок может забрать этот камень себе вместо ответа. Оно не даёт первому начинать с центра: первый ход приходится выбирать ни слишком сильным, ни слишком слабым. В игре здесь этого правила нет.
Маленькие доски решены. Все первые ходы на 7×7 компьютер разобрал в 2003 году, 8×8 и 9×9 — в следующее десятилетие. На турнирных досках 11×11 и 13×13 известно, что первый игрок выигрывает, но неизвестно как.