Кодов из четырёх разных цифр всего 5040, и игрок, который просто не противоречит прежним ответам, разгадывает код в среднем за 5,47 попытки; популярный дебют 0123, 4567 медленнее — 5,58. На этой странице вы ходите первыми и при равном числе попыток побеждаете, поэтому уже такая игра выигрывает 64,6% дуэлей у «Простого», 61,2% у «Сложного» и 63,7% у «Эксперта». Ещё важнее, что загадать самому: «Сложный» и «Эксперт» при равных оценках берут наименьшее число, поэтому 0123 они находят примерно за три с половиной попытки, а на 9870 тратят около шести — доля ваших побед над «Экспертом» вырастает с 14% до 85%.
Обе стороны загадывают четыре разные цифры от 0 до 9; ноль в начале разрешён, повторы — нет. Это 10×9×8×7 = 5040 кодов. Код компьютера выбирается случайно, все коды равновероятны, так что до первого ответа ни одна ваша попытка не лучше другой.
Ходят по очереди, вы — первыми. Два поиска друг на друга не влияют: ваши попытки ничего не сообщают компьютеру, а его попытки — вам. Поэтому дуэль — это сравнение двух чисел: сколько попыток понадобилось вам и сколько ему. При равенстве победа ваша, потому что свой ход вы закончили раньше.
Это правило стоит дорого. Двум игрокам одинаковой силы нужно одно и то же число попыток в 29,1% партий, так что тот, кто ходит первым, выигрывает не 50%, а 64,6%. С такой форой вы начинаете здесь каждую дуэль.
Практический вывод: быть быстрее компьютера не обязательно, достаточно быть не медленнее. Против уровня, которому в среднем нужно 5,3–5,5 попытки, пять попыток выигрывают примерно в 85% случаев, а шесть — чуть реже чем в половине.
До первого ответа все попытки равноценны, так что берите любую, например 0123. Ответ делит 5040 кодов на 14 групп очень разного размера, и вам достаётся одна из них:
| Ответ на первую попытку | Осталось кодов | Как часто |
|---|---|---|
| 1 корова | 1440 | 28,57% |
| 2 коровы | 1260 | 25,00% |
| 1 бык + 1 корова | 720 | 14,29% |
| 1 бык | 480 | 9,52% |
| ничего | 360 | 7,14% |
| 3 коровы | 264 | 5,24% |
| 1 бык + 2 коровы | 216 | 4,29% |
| 2 быка | 180 | 3,57% |
| 2 быка + 1 корова | 72 | 1,43% |
| 3 быка | 24 | 0,48% |
| 4 коровы | 9 | 0,18% |
| 1 бык + 3 коровы | 8 | 0,16% |
| 2 быка + 2 коровы | 6 | 0,12% |
| 4 быка | сам код | 0,02% |
В среднем после первой попытки остаётся 931 код. Больше половины партий начинаются с ответа «1 корова» или «2 коровы» — двух самых бесполезных; ответ «ничего» лучше обоих, а два быка или три коровы — уже подарок.
Таблица одна и та же для любой первой попытки: меняются только названия цифр. Из неё видно и то, почему первым делом смотрят на сумму быков и коров: она говорит, сколько из четырёх ваших цифр вообще есть в коде, и одно это отличает 360 кодов от 1440.
Обычный совет — начинать с 0123, 4567 при любом первом ответе, чтобы «просмотреть все цифры». Другой путь — вторая попытка, которая сама может оказаться кодом: в ней остаётся столько цифр из первой, сколько назвал ответ (быки на своих местах, коровы переставлены), а остальные места заняты новыми цифрами. Вот сколько кодов в среднем остаётся после каждого варианта:
| Первый ответ на 0123 | Осталось кодов | После 4567 | После возможного кода | Пример | Лучшая из всех 5040 попыток |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 корова | 1440 | 295 | 255 | 1456 | 254 |
| 2 коровы | 1260 | 322 | 204 | 1435 | 202 |
| 1 бык + 1 корова | 720 | 184 | 117 | 0245 | 108 |
| 1 бык | 480 | 98 | 80 | 0456 | 80 |
| ничего | 360 | 65 | 65 | 4567 | 65 |
| 3 коровы | 264 | 103 | 50 | 1234 | 45 |
| 1 бык + 2 коровы | 216 | 84 | 47 | 0234 | 40 |
| 2 быка | 180 | 46 | 34 | 0145 | 27 |
По всем кодам сразу: после 0123 и 4567 в среднем остаётся 216 вариантов, после 0123 и любого возможного кода — 159. Самая лучшая вторая попытка, выбранная из всех 5040 под каждый ответ, оставляет 156: после одного ответа «любой код, который ещё возможен» уступает лучшему меньше 2%, а 4567 — правильная вторая попытка только после ответа «ничего».
Столбец «после возможного кода» — среднее по всем возможным вторым попыткам, а не по специально подобранной; для больших групп они практически равноценны. За удобство готового дебюта приходится платить и в конце партии: в среднем 5,58 попытки против 5,47, если со второй попытки называть только возможные коды.
Если вы всё же начинаете с 0123, 4567: по двум суммам видно, сколько в коде цифр из пары 8 и 9. Быки и коровы обоих ответов дают в сумме четыре в 33,3% партий (нет ни 8, ни 9), три — в 53,3% (есть одна из них) и два — в 13,3% (есть обе). Пара ответов делит коды на 63 группы, в самой большой — 504 кода.
Первые четыре строки — способы, которым человек может следовать с карандашом и бумагой; последние три требуют компьютера и приведены для сравнения. Столбцы с победами относятся к дуэли на этой странице, когда свой код вы получаете кнопкой «Случайно».
| Способ | Попыток в среднем | Худший случай | Не больше 5 попыток | Побед над «Простым» | над «Сложным» | над «Экспертом» |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Любой возможный код, наугад | 5,47 | 9 | 49,8% | 64,6% | 61,2% | 63,7% |
| Каждый раз наименьшее возможное число | 5,56 | 9 | 47,3% | 61,8% | 58,4% | 60,7% |
| 0123, 4567, затем любой возможный код наугад | 5,58 | 9 | 45,2% | 62,2% | 58,6% | 61,1% |
| 0123, 4567, затем наименьшее возможное число | 5,62 | 9 | 44,2% | 60,9% | 57,3% | 59,6% |
| Меньше всего кодов в среднем, только возможные коды | 5,32 | 8 | 56,0% | 69,7% | 66,7% | 69,5% |
| Меньше всего кодов в среднем, любая попытка | 5,27 | 7 | 60,9% | 72,6% | 70,0% | 73,0% |
| Больше всего информации (энтропия), любая попытка | 5,24 | 8 | 62,7% | 73,2% | 70,7% | 73,8% |
Строки со словом «наугад» получены на 400 000 смоделированных партий каждая; остальные точные — посчитаны по всем 5040 кодам с первой попыткой 0123. Для справки: лучшее среднее, достижимое каким бы то ни было способом, по литературе равно 5,213 попытки при худшем случае в семь; здесь оно не пересчитывалось.
Все три уровня делают случайную первую попытку и не называют код, который противоречит вашим ответам, — кроме намеренных пробных попыток «Эксперта». Различаются они тем, что выбирают среди оставшихся кодов.
| Уровень | Как выбирает | Попыток в среднем | Худший случай в измерениях | Партий измерено |
|---|---|---|---|---|
| «Простой» | случайный возможный код | 5,47 | 9 | 400 000 |
| «Сложный» | возможный код, после которого в среднем остаётся меньше всего вариантов | 5,32 | 8 | 40 000 |
| «Эксперт» | попытка с наименьшей худшей группой (минимакс Кнута), пробные попытки разрешены | 5,39 | 7 | 2 016 000 |
А вот как партии распределяются по длине:
| Ваш код разгадан на попытке | «Простой» | «Сложный» | «Эксперт» |
|---|---|---|---|
| 3-й или раньше | 2,4% | 2,4% | 1,0% |
| 4-й | 12,1% | 12,6% | 10,3% |
| 5-й | 35,2% | 40,8% | 41,6% |
| 6-й | 37,0% | 38,4% | 42,6% |
| 7-й | 12,1% | 5,8% | 4,5% |
| 8-й или позже | 1,1% | 0,06% | никогда |
Неожиданность — в средних: «Эксперт» медленнее «Сложного», 5,39 против 5,32. Минимакс страхуется от худшего ответа и платит за страховку в обычных партиях: ни в одной из 2 016 000 партий «Эксперту» не понадобилось больше семи попыток, но за четыре и меньше он справляется реже, чем «Сложный». В дуэли, где важно, кто быстрее в среднем, самым трудным соперником на этой странице оказывается «Сложный» — каждый способ из таблицы выше выигрывает у него реже, чем у «Эксперта».
«Простой» играет в точности первым способом из таблицы выше, так что дуэль равных с ним решает ваше право первого хода. «Сложный» рассматривает только возможные коды, а пока их больше 1000 — случайную выборку из них, поэтому его вторая попытка от партии к партии разная. Игра «Эксперта» после его первой попытки полностью предопределена.
Против «Простого» это безразлично: он выбирает наугад среди возможных кодов, так что на любой код уходят те же 5,47 попытки. «Сложный» и «Эксперт» — другое дело. Когда несколько попыток оценены одинаково, оба берут первую по списку, а список идёт по возрастанию, от 0123 до 9876. Равные оценки встречаются часто, поэтому их попытки смещены к маленьким числам, и код, похожий на маленькое число, находится раньше.
| Первая цифра вашего кода | «Эксперт», попыток в среднем | «Сложный», попыток в среднем |
|---|---|---|
| 0 | 5,02 | 4,95 |
| 1 | 5,14 | 5,03 |
| 2 | 5,22 | 5,12 |
| 3 | 5,29 | 5,21 |
| 4 | 5,34 | 5,26 |
| 5 | 5,41 | 5,35 |
| 6 | 5,48 | 5,45 |
| 7 | 5,56 | 5,52 |
| 8 | 5,67 | 5,63 |
| 9 | 5,80 | 5,73 |
Следующие цифры действуют так же. Вот как это сказывается на дуэли, если сами вы называете любой возможный код наугад:
| Ваш код | «Эксперту» нужно | Ваши победы над «Экспертом» | «Сложному» нужно | Ваши победы над «Сложным» |
|---|---|---|---|---|
| 0123 | 3,24 | 13,8% | 3,47 | 21,4% |
| начинается с 01 | 4,59 | 38,5% | 4,50 | 38,7% |
| случайный | 5,39 | 63,7% | 5,32 | 61,2% |
| начинается с 9 | 5,80 | 76,6% | 5,73 | 73,4% |
| начинается с 98 | 6,00 | 81,9% | 5,90 | 78,0% |
| 9870 | 6,16 | 84,7% | 5,98 | 80,7% |
| 9807 | 6,20 | 86,1% | 6,00 | 82,0% |
Числа для «Эксперта» — средние по 400 разным первым попыткам компьютера для каждого кода; числа «Сложного» по первой цифре получены примерно на 4000 партий на цифру, по отдельным кодам — на 3000 партий на код (коды, начинающиеся с 98 и с 01, — примерно по 470 партий).
При четырёх разных цифрах — за пять-шесть. Игроку, который называет только коды, подходящие ко всем прежним ответам, нужно в среднем 5,47 попытки, и в 99% партий он укладывается в семь; наилучшая возможная игра даёт в среднем 5,213 и никогда не требует больше семи.
Лучшего первого хода нет: без повторяющихся цифр любая первая попытка — одна и та же попытка с переименованными цифрами. Любая оставляет в среднем 931 код: 1440 после самого частого ответа «1 корова» и 360 после ответа «ничего».
Удобно, но не лучше всего. После 0123 и 4567 в среднем остаётся 216 кодов, а после 0123 и любого кода, подходящего к первому ответу, — 159. За всю партию готовый дебют стоит примерно десятую долю попытки: в среднем 5,58 против 5,47.
Называйте только коды, согласующиеся со всеми ответами, а из них — тот, что меньше всего похож на прежние попытки. Одно это даёт около 5,5 попытки в среднем. Улучшение, доступное только компьютеру, — выбирать попытку, после которой в среднем остаётся меньше всего кодов, — доводит среднее до 5,2–5,3.
На этой странице вы ходите первыми и при равном числе попыток побеждаете, поэтому игра без противоречий выигрывает 61–65% дуэлей на любом уровне. Затем выберите свой код: «Сложный» и «Эксперт» раньше находят маленькие числа, так что загадывайте что-нибудь на 98, например 9870. Доля побед вырастет примерно до 80% против «Сложного» и 85% против «Эксперта».
При четырёх разных цифрах и разрешённом нуле в начале, как здесь, — 10×9×8×7 = 5040. В вариантах, где ноль в начале запрещён, их 4536, а в вариантах с повторяющимися цифрами — 10 000.
В «Мастермайнде» шесть цветов на четырёх местах и повторы разрешены — всего 1296 кодов; в «Быках и коровах» десять цифр без повторов — 5040 кодов. Ответы устроены одинаково: чёрный колышек — это бык, белый — корова. «Мастермайнд» всегда решается за пять попыток, «Быки и коровы» — за семь.